Авторы: 159 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Книги:  184 А Б В Г Д Е З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

8.3.2. Модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза для оценки опциона является одним из наи-

более известных достижений современной финансовой теории и ши-

роко используется торговцами опционами на практике.

формула Блэка-Шоулза основывается на ряде упрощающих пред-

положений, главными из которых являются: отсутствие трансакцион-

ных затрат и налогов, постоянство процентных ставок и нормальное

распределение доходности базового актива; бесконечная делимость

активов.

Вывод формулы базируется на концепции безрискового хеджа. По-

купая акции и одновременно продавая колл-опционы на эти акции,

инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли

по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и нао-

борот. Безрисковая хеджевая позиция должна приносить доход по

ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае

существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и

инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности,

приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который опреде-

ляется моделью ценообразования опционов.

Модель Блэка-Шоулза состоит из следующих формул:

<8Л>

yft

(8.3)

где V—текущая стоимость колл-опциона в момент t до истечения сро-

ка опциона; Р —текущая цена базисного актива; N(dl) —вероятность

того, что отклонение будет меньше dx в условиях стандартного нор-

мального распределения; X —цена исполнения опциона; kRF—безрис-

ковая процентная ставка; t —время до истечения срока опциона; а2 — вариация доходности базисного актива.

Модель Блэка-Шоулза достаточно проста в использовании, широ-

ко используется в торговле опционами, а потому фактические цены

опционов довольно хорошо приспосабливаются к ценам, получаемым

из мод ел и.

Приведем учебный пример использования модели Блэка-Шоулза

Предположим, что получена следующая информация: текущая ры-

ночная цена акции Р - 100 ден. ед., цена исполнения опциона X = 120

ден. ед.; эффективная ставка по краткосрочным дисконтным государ-

ственным облигациям г = 20%; время до истечения срока опциона t = 0,75

года; дисперсия годовой доходности а2 = 18,48% (а = 43%).

Безрисковая ставка доходности к^ равна:

j l F ( ) ( ) = 18,23%.

Параметры:

_1п(100/120) + (0,1823 + 0,1848)

СЛ\ —i — """V/,4 АО/

043V075

d2 -0,4157-0,43л/0/75 = -0,7881

Окончательно получим, что стоимость нашего опциона равна

V = 1000,3388-0,8722120-0,2153 = ll,35 ден.ед.

Формула Блэка-Шоулза устанавливает зависимость стоимости

опциона от пяти основных параметров: t, P, X, к^и о. Для инвестора

важно знать, как изменится стоимость опциона в ответ на изменение

этих параметров. Для этого рассчитываются следующие показатели:

•тета опциона: Qv = dV/dt;

•дельта опциона: Sv = dV/дР;

•лямбда опциона: Xv = dV/dc2.

Очевидно, что все эти величины положительны —т. е. увеличение

времени до выполнения, цены и дисперсии доходности повышают сто-

имость опциона. Чем больше эти величины —тем больше риск опцио-

на для продавца.

Для нашего учебного примера тета, дельта и лямбда равны соответ-

ственно:

0 - 4,1429; 5 - 0,3388; X - 22,6914.

Таким образом, стоимость опциона при увеличении времени до вы-

полнения на один год увеличится приблизительно на 4 ден. ед., приросте текущей цены акции на 1 ден. ед. стоимость опциона возрастет

на 0,34 ден. ед. и при увеличении дисперсии доходности акции на

0,1 —стоимость возрастет примерно на 2,27 ден. ед.